日常生活中7个方程式:波动方程让小提琴奏出美

2019-01-06 20:19:33 围观 : 53
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日常生活中7个方程式:波动方程让小提琴奏出美妙音符

  1820年,丹麦科学家奥斯特发现电流能使其周围的磁针发生偏转。这给法拉第两个启示:第一,通电导线对磁铁有影响,反过来,19世纪的基督教。磁铁当然也应该对通电导线有影响,法拉第也通过实验证实了这一点。第二,在奥斯特实验中,通电流的导线所以能使磁针偏转,是因为电流产生了磁,既然电流能产生磁,那么反过来,磁当然也应该能产生电流。这正是法拉第想要实现的,这也是电磁感应的思想起源。 方程式的作用不仅仅限于技术领域。如果没有方程式,我们将不能理解统辖潮汐、冲刷海滩的浪涛、不断变化的天气、行星的运行、恒星的核反应堆、星系旋转等的物理学原理;不可能理解到宇宙之广袤以及我们在其中的位置。 法拉第的研究对麦克斯韦产生了巨大的影响。麦克斯韦从剑桥大学毕业后,最初研究光的色彩理论,不久他读到法拉第的电磁实验研究。法拉第用场代替牛顿的真空,用力在场中以波的形式和有限的速度代替牛顿的超距作用,这些不同凡响的大胆见解唤起了麦克斯韦的想象力,引起了他的共鸣。然而,麦克斯韦也看到,法拉第的表述方法不够严格,有漏洞,他可以在此大显身手,施展自己的数学才能。 当时,绝大多数研究电、磁的物理学家都在寻找与万有引力类似的东西,他们认为它是一种在间隔一定距离的物体之间产生作用的力。然而,法拉第持有不同的观点,法拉第假设,电和磁这两种现象都是遍布在整个空间的场,这些场随时间而变化并能通过它们产生的力探测到。因此,他用充满力线的场来代替牛顿的真空,用力在场中以波的形式和有限的速度代替牛顿的超距作用。 1824年到1828年,法拉第做了四次实验,全都失败了,但他没有轻易认输,并最终于1831年取得了成功。在实验中,法拉第注意到,由磁产生电的必要条件是相对运动,他把这样产生的电流叫做感应电流,人们也把法拉第由此总结出来的变化的磁场产生电流的规律,称为法拉第电磁感应定律。 宇宙间存在着数千个重要的方程式,它们对人类世界和宇宙万物产生了重大的影响,英国《新科学家》杂志网站近日为我们列出了其中比较重要的7个:波动方程、麦克斯韦方程组麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程(它由四个方程组成:描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦安培定律以及描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律)、傅里叶变换和薛定谔方程,同时也借此阐述了经验观察是如何产生这7个已经与我们的科学和日常生活息息相关、密不可分的方程式的。 如果没有方程式,人类现有的大部分技术可能都无法被发明出来。当然,诸如火和车轮等发明不需要任何数学知识。然而,没有方程式,人类可能仍然生活在中世纪。 但波动方程最深远的影响是麦克斯韦电磁方程式。1820年,大多数家庭的照明工具还是蜡烛和灯笼。如果人们要发送信息,就得写信,然后利用四轮马车送到收信人那儿。如果是加急信件的线年后,家中和街道上都能看见电灯的“倩影”,电报的出现意味着信息可以跨越大洲进行传递,人们甚至开始通过电话相互交谈。无线电通讯也在实验室获得了证明,有一家企业甚至开设了一个工厂,向公众出售“无线电”。 电磁感应定律是发电机问世的基础。1831年年底,法拉第根据电磁感应定律创造性地发明了变压器和发电机。虽然这些只是实验室的产物,还需要进行诸多完善,但这预告了电能够大规模地产生并输送到遥远的地方。电将从实验室走向工厂、矿山、农村,走进千家万户。法拉第的电磁感应定律为人类打开了电能宝库。从此,人类迅速进入电气时代。 但好戏还在后头,麦克斯韦接下来的表现才线年,麦克斯韦发表了第三篇论文《电磁场的动力理论》。他不再用他过去提出的以太模型,而是通过数学解析方法,总结了以他名字命名的电磁场基本方程,这就是现在为世人所知的麦克斯韦方程组。 不仅如此,麦克斯韦还指出,根据波长的不同,光有不同的颜色,受到眼睛的感光材料的化学性质所限,我们只能看到部分波长的光。从理论上而言,所有波长的电磁波都应当存在,而一些波长超过我们眼睛视域的电磁波将改变世界:这就是无线年,电磁波之父、德国物理学家海因里希鲁道夫赫兹通过实验证明了无线电波的存在,但他却没有正确认识到其最具革命性的用途:如果在这样的波上加上信号,那么,你就能与世界对话了。但随后,克罗地亚发明家、物理学家尼古拉特拉斯和意大利发明家、诺贝尔物理奖得主、无线电和电报的发明人伽利尔摩马可尼(他和俄国物理学家亚历山大斯塔帕诺维奇波波夫分别实现了无线电的长距离传播)以及其他人让这一梦想照进了现实,接下来,现代通讯的全套装备从无线电、电视到雷达以及手机使用的微波通讯等都自然而然地来到了人们面前,使人类的生活达到了空前的丰富多彩。 大约20年后,法国著名的物理学家、数学家和天文学家让勒朗达朗贝尔进行了一个类似的过程,但他关注的是简化运动方程式而非方程式的解。结果,他得到了一个描述弦的形状如何随时间而改变的优美的方程式,这就是波动方程。波动方程表明,弦的任何一小段运动的加速度与其所受到的拉力成正比。这意味着,如果波的频率不成简单的比率,那么就会产生令人不悦的嗡嗡噪音,我们现在将其称为“拍子”。这是为什么简单的数学比率会产生和谐音符的原因之一。1763年,达朗贝尔进一步讨论了不均匀弦的振动,提出了广义的波动方程。 1727年,伯努利在一篇论文中研究了弦振动的问题考虑了一根无重量的弹性弦,在弦上等间隔地放置n个等质量的质点。他用牛顿定律写下了这个系统的运动方程式,并解出了这些方程式。从这些方程式的解中,他发现,弦振动最简单的形式就是一条正弦曲线。也还有其他的振动模式,比如一条以上的波刚好合入这条正弦曲线,这就是音乐家们所说的和声。 闹钟响了,你睁开双眼看了一下,时间是早上6:30。尽管你还没有起床,但是,至少有6个数学方程式已经影响了你的生活。如果没有量子力学领域的一个关键方程式薛定谔方程,那么,将时间存在闹钟里的记忆芯片不可能被设计出来;若非麦克斯韦的4个电磁学方程式,设置闹钟时间的无线电信号或许还只是我们的梦想;而且,该无线电信号本身的传播也遵循众所周知的波动方程。 数学家们几乎很难不想到波,但是,他们受到的启发来自于艺术:小提琴的琴弦是如何发出如此美妙的声音的?这个问题的答案要追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派,他们发现,如果两根同样类型和同样张力的弦的长度为简单比,诸如2∶1或3∶2,它们就会产生一起发声时听起来极其和谐的音符。如果比率较为复杂,那么,产生的音符则不和谐,听起来也不悦耳。首先弄懂这一奇怪现象的是瑞士数学家约翰伯努利。 人类漂浮在一个隐藏着方程式的海洋中。交通、金融系统、健康、犯罪预防和探测、通讯、食品、水、供热和照明等各个领域能有条不紊地运行,“潜伏”于其中的方程式功不可没。当我们淋浴时,控制水供应的方程式让我们受益。我们早餐时享受的美味麦片粥也源于在统计方程式的帮助下培育而成的农作物。当我们驾车上班,汽车的空气动力学设计同描述空气在汽车上方和周围如何流动的纳维尔斯托克斯方程有关。打开汽车的卫星导航让我们再次与量子物理学相遇,而且同牛顿的运动力学以及万有引力定律都产生了联系,后两者帮助开启地理定位卫星并设置其运行轨道。汽车也使用随机数字生成方程式来记录信号发送的时间;用三角方程来计算位置;用狭义和广义相对论来精确追踪卫星在地球引力下的运动轨迹。 这场社会和技术革命的幕后推手是两位科学家的天才发现。1830年左右,英国物理学家、化学家迈克尔法拉第创立了电磁学的基础物理理论。30年后,英国物理学家、数学家詹姆斯克拉克麦克斯韦开始尝试为法拉第的实验和理论建立数学公式。 通过对这些方程式进行一些简单的处理,他成功推演出了波动方程并预言了电磁波的存在,建立了光的电磁理论。由于算出电磁波在真空中的传播速度与光在真空中的传播速度相同,麦克斯韦断言,光就是频率在某一范围的电磁波。这本身就是一个激动人心的大新闻,因为以前从未有人想过光、电和磁之间存在着如此重要的关联。 首先是波动方程。我们生活在一个遍布波的世界里。我们的耳朵探测到空气中的压缩波并将其视为声音;我们的眼睛所见到的是光波;当地震发生时,破坏由穿越地球的地震波所造成。 麦克斯韦通过模拟流体流动的数学原理为这些想法重新建立了公式。他认为力线(磁力线、电力线)类似于流体分子的运动轨迹,电场或磁场的强度则类似于流体的运动速度。到1864年时,麦克斯韦已经为电场和磁场之间基本的相互关系写出了4个方程式。其中的两个方程式告诉我们,电和磁是不会泄露的;另两个方程式则告诉我们,当一个电场区以小圈形式旋转时,它就会产生一个磁场,而一个旋转的磁场区也会产生电场。 将波动方程进行修改可以处理更复杂、混乱的现象,比如地震。精密复杂的波动方程让地震学家们能探测到我们脚下几百英里处正在发生的情况。他们能将地球的构造板块描绘成一块滑入另一块之下,由此造成了地震和火山。该领域最伟大的成就将是科学家们最终得到一种可靠地预测地震和火山喷发的方法,科学家们目前正在研究的诸多方法也都基于波动方程。 所有这一切的原动力都是麦克斯韦的4个方程式和一些简单的计算,麦克斯韦方程组因此也被列入“改变世界面貌的10个公式”之一。其实,它们不仅改变了世界,它们也打开了一个全新的世界。 1822年,法拉第在日记中写下了一个崭新的研究题目:“把磁转变成电”。法拉第认识到:磁铁可以使铁块感应带磁,静电可以使导体感应带电,电流能产生磁,那么,磁也必然应该能产生电。